每日一题[1447]向量共线

已知 $\triangle ABC$ 中,$D$ 为底边 $BC$ 上一点,且 $\dfrac{BD}{DC}=\lambda$,$P,Q$ 分别为 $AB,AC$ 上一点,$PQ$ 与 $AD$ 交于点 $R$,$\dfrac{AD}{AR}=\mu_0$,$\dfrac{AB}{AP}=\mu_1$,$\dfrac{AC}{AQ}=\mu_2$,求证:$\mu_0=\dfrac{\mu_1+\lambda\cdot \mu_2}{1+\lambda}$.

答案

解析 只需要证明\[\dfrac{AR}{AD}\cdot \left(\dfrac{1}{1+\lambda}\cdot \dfrac{AB}{AP}+\dfrac{\lambda}{1+\lambda}\cdot \dfrac{AC}{AQ}\right)=1,\]即\[\dfrac{AR}{AD}\cdot \left(\dfrac{DC}{BC}\cdot \dfrac{AB}{AP}+\dfrac{BD}{BC}\cdot \dfrac{AC}{AQ}\right)=1.\]考虑到\[\begin{split}\overrightarrow {AR}&=\dfrac {AR}{AD}\overrightarrow{AD}\\ &=\dfrac{AR}{AD}\cdot \left(\dfrac{DC}{BC}\overrightarrow{AB}+\dfrac{BD}{BC}\overrightarrow{AC}\right)\\ &=\dfrac{AR}{AD}\cdot \left(\dfrac{DC}{BC}\cdot \dfrac{AB}{AP}\overrightarrow{AP}+\dfrac{BD}{BC}\cdot \dfrac{AC}{AQ}\overrightarrow{AQ}\right),\end{split}\]而 $P,R,Q$ 三点共线,于是命题得证.

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