每日一题[1459]补形

在三棱锥 $A-BCD$ 中,$BC=BD=AC=AD=10$,$AB=6$,$CD=16$,点 $P$ 在平面 $ACD$ 内,且 $BP=\sqrt{30}$,设异面直线 $BP$ 与 $CD$ 所成角为 $\alpha$,则 $\sin\alpha$ 的最小值为( )

A.$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$

B.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$

C.$\dfrac{2\sqrt 5}5$

D.$\dfrac{\sqrt 5}5$

答案 A.

解析 四面体 $ABCD$ 的外接平行六面体底面为菱形,侧面为矩形.进而可得该平行六面体的高为\[\sqrt{10^2-8^2-3^2}=3\sqrt 3,\]于是根据等体积法,点 $B$ 到平面 $ACD$ 的距离\[h=\dfrac{V_{ABCD}}{\dfrac 13S_{\triangle ACD}}=3\sqrt 3,\]因此异面直线 $BP$ 与 $CD$ 所成角 $\alpha$ 的正弦 $\sin\alpha$ 的最小值为\[\dfrac{h}{BP}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}.\]

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