每日一题[1454]极差

定义函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值与最小值的差为 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的极差,记作 $d(a,b)$. ① 若 $f(x)=x^2-2x+2$,则 $d(1,2)=$_______; ② 若 $f(x)=x+\dfrac{m}{x}$,且 $d(1,2)\ne \left|f(2)-f(1)\right|$,则实数 $m$ 的取值范围是_______.

答案 ①$1$;②$(1,4)$.

解析 ① 因为 $f(x)=x^2-2x+2$ 在区间 $[1,2]$ 上单调递增,所以\[d(1,2)=f(2)-f(1)=1.\]

② 根据题意,函数 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 上不单调,于是\[1<\sqrt m<2,\]解得\[1<m<4.\]

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