给定正整数 $N$，对任意的正整数 $n$，设数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=0$，$a_2=1$，且\[a_{n+1}+a_{n-1}=\left(2-\dfrac 1N\right)a_n,n\geqslant 2.\]
1、当 $N=1$ 时，求 $a_6$ 及 $\{a_n\}$ 前 $2015$ 项的和 $S_{2015}$．
2、证明：对所有的正整数 $n$，都有 $a_n<\sqrt{N+1}$．
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每日一题[1470]抛物线的平均性质
已知抛物线 $y^2=2x$ 的焦点有两条直线 $l_1,l_2$，直线 $l_1$ 交抛物线于点 $P,M$，直线 $l_2$ 交抛物线于点 $Q,N$，若直线 $PQ$ 的方程为 $4x-9y+4=0$，那么直线 $MN$ 的斜率为_______．
每日一题[1469]三角平方差
在锐角三角形 $ABC$ 中，已知 $2\sin^2A+\sin^2B=2\sin^2C$，则 $\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}$ 的最小值为_______．
每日一题[1468]相遇与行程
已知一段斜坡长度为 $a$，$A$ 在坡顶以速率 $v_1$ 向坡底运动，$B$ 在坡底以速率 $v_2$ 向坡顶运动．$C$ 的起始位置与 $A$ 相同，下坡的速率为 $v_3$（$v_3>v_1$），上坡的速率为 $v_4$（$v_4>v_2$），且 $C$ 在 $A,B$ 之间往复运动（每当遇到 $A$ 或 $B$ 时改变方向）．求当 $A$ 与 $B$ 相遇时，$C$ 总共运动的路程．
每日一题[1467]裂项简化
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac 19\left(a_n+2\sqrt{4a_n+1}+2\right)$．
1、求 $\{a_n\}$ 的通项公式．
2、数列 $\left\{\dfrac 1{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$，求证：$T_n>\dfrac {4n}3-\dfrac {14}9$．
每日一题[1466]垂径定理
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点 $F$，过 $F$ 作两条互相垂直的弦 $AB,CD$，弦 $AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$，求证：直线 $MN$ 恒过定点．
每日一题[1465]递归
一个国际象棋棋盘（由 $8\times 8$ 个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（ ）
A．至多能剪成 $19$ 块“L”形骨牌
B．至多能剪成 $20$ 块“L”形骨牌
C．一定能剪成 $21$ 块“L”形骨牌
D．前三个答案都不对
每日一题[1464]面积坐标公式
已知直线过定点 $P(1,1)$，且与抛物线 $x^2=4y$ 交于 $A,B$ 两点，$l_1,l_2$ 分别过 $A,B$ 两点且与抛物线相切．设 $l_1,l_2$ 交点为 $C$．
1、求交点 $C$ 的轨迹方程．
2、求三角形 $ABC$ 面积的最小值．
每日一题[1463]迭代函数
已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足递推关系式：$2a_{n+1}=1-a_{n}^{2}(n\geqslant 1,n\in\mathbb N)$，且 $0<a_{1}<1$．
1、求 $a_{3}$ 的取值范围．
2、用数学归纳法证明：当 $n\geqslant 3$ 且 $n\in\mathbb N$ 时，$\left|a_{n}-\left(\sqrt 2-1\right)\right|<\dfrac{1}{2^{n}}$．
3、若 $b_{n}=\dfrac{1}{a_{n}}$，求证：当 $n\geqslant 3$ 且 $n\in\mathbb N$ 时 $\left|b_{n}-\left(\sqrt 2+1\right)\right|<\dfrac{12}{2^{n}}$．
每日一题[1462]两边夹
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{2a_n}$，则 $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(a_n-\sqrt n\right)=$ ______．