每日一题[1460]椭圆的参数方程

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$),点 $P(0,1)$ 是椭圆的上顶点,离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$,过点 $O(0,0)$ 作直线 $l$ 交椭圆于点 $A,B$ 两点(异于点 $P$).

1、求椭圆方程.

2、设直线 $PA$ 的斜率为 $k$,线段 $PB$ 的中垂线与 $y$ 轴交于点 $E$,若点 $E$ 在椭圆的外部,求斜率 $k$ 的取值范围.

解析

1、$\dfrac{x^2}4+y^2=1$.

2、设 $B(2\cos\theta,\sin\theta)$,则线段 $PB$ 的中垂线\[l:y=-\dfrac{2\cos\theta-0}{\sin\theta-1}(x-\cos\theta)+\dfrac{1+\sin\theta}2,\]于是点 $E\left(0,-\dfrac 32(1+\sin\theta)\right)$.根据题意,有\[\left|-\dfrac 32(1+\sin\theta)\right)>1\iff \sin\theta>-\dfrac 13.\]因此直线 $PA$ 的斜率\[k=\dfrac{1+\sin\theta}{2\cos\theta},\]利用规划可得所求斜率 $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt 2}4\right)\cup\left(\dfrac{\sqrt 2}4,+\infty\right)$. 

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