每日一题[1461]对偶

设 \[ A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix} \] 是由 $1,2,3,\cdots,n^2$ 组成的 $n$ 行 $n$ 列的数表(每个数恰好出现一次),$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb{N}^{*}$.若存在 $1\leqslant i,j\leqslant n$,使得 $a_{ij}$ 既是第 $i$ 行中的最大值,也是第 $j$ 列中的最小值,则称数表 $A$ 为一个“好数表”,$a_{ij}$ 为数表 $A$ 的一个“好值”.对任意给定的 $n$,所有“好数表”构成的集合记作 $\Omega_n$.

1、给出数表 \[ A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix},\ B= \begin{pmatrix} 1&4&7\\ 8&2&5\\ 6&9&3 \end{pmatrix}, \]判断 $A,B$ 是否是“好数表”,若是,写出它的一个“好值”.

2、求证:若数表 $A$ 是“好数表”,则 $A$ 的“好值”是唯一的.

3、在 $\Omega_{19}$ 中随机选取一个数表 $A$,记 $A$ 的“好值”为 $X$,求 $X$ 的数学期望 $E(X)$.

解析

1、由题意,$A$ 是“好数表”,其“好值”为 $3$;$B$ 不是“好数表”.

2、假设 $a_{ij}\ne a_{st}$ 均是“好数表”$A$ 的“好值”,其中 $1\leqslant i,j,s,t\leqslant n$,则 $i\ne s$ 且 $j\ne t$.一方面,\[a_{ij}>a_{it}>a_{st},\]另一方面,\[a_{st}>a_{sj}>a_{ij},\]矛盾.所以若数表 $A$ 是“好数表”,则 $A$ 的“好值”是唯一的.

3、对给定的“好数表”$A=\left(a_{ij}\right)_{19\times 19}\in\Omega_{19}$,令\[b_{ij}=362-a_{ji},\]其中 $1\leqslant i,j\leqslant 19$.设 $B=\left(b_{ij}\right)_{19\times 19}$.易证\[f:\Omega_{19}\longrightarrow\Omega_{19}, A\longmapsto B\]为双射.若 $A$ 的好值为 $a_{st}$,则 $B=f\left(A\right)$ 的“好值”为 $b_{ts}=362-a_{st}$.所以可将 $\Omega_{19}$ 中的“好数表”$A$ 与“好数表”$B=f(A)$ 配对,使得 $A$ 与 $f(A)$ 的“好值”之和为 $362$,故 $E(X)=181$.

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