每日一题[1456]由小及大

1、已知函数 $ f\left(x\right)=\ln x-x+1 $,$ x\in \left(0,+\infty \right) $,求函数 $ f\left(x\right) $ 的最大值.

2、设 $ a_k,b_k \left(k=1,2,\cdots,n\right)$ 均为正数,证明: ① 若 $ a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\leqslant b_1+b_2+\cdots+b_n $,则 $ a^{b_1}_1a^{b_2}_2\cdots a^{b_n}_n\leqslant 1 $; ② 若 $ b_1+b_2+\cdots+b_n=1 $,则 $ {\dfrac{1}{n}}\leqslant b^{b_1}_1b^{b_2}_2\cdots b^{b_n}_n\leqslant b^2_1+b^2_2+\cdots+b^2_n $.

解析

1、 由题意知,$f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$,因为$$f'(x)=\dfrac 1x -1,$$函数在 $x=1$ 处取得极大值,亦为最大值 $f(1)=0$.

2、① 由第 $(1)$ 小题的结果知,当 $ x\in \left(0,+\infty \right) $ 时,有$$ f\left(x\right)\leqslant f\left(1\right)=0 ,$$即\[ \ln x\leqslant x-1.\]因为 $ a_k ,b_k>0 $,从而有$$ \ln a_k\leqslant a_k-1 ,$$得\[b_k\ln a_k\leqslant a_kb_k-b_k\left(k=1,2,\cdots,n\right) ,\]求和得\[ \sum \limits^n _{k=1 }\ln a^{b_k}_k\leqslant \sum\limits^ n_{ k=1} a_kb_k-\sum \limits^ n _{k=1} b_k ,\]于是\[\displaystyle \sum\limits^ n _{k=1} a_kb_k\leqslant \sum \limits ^n _{k=1} b_k \iff \sum\limits^ n _{k=1} \ln a^{b_k}_k\leqslant 0\iff a^{b_1}_1a^{b_2}_2\cdots a^{b_n}_n\leqslant 1.\] ② 先证明左边不等式.令 $ a_k={\dfrac{1}{nb_k}}\left(k=1,2,\cdots,n\right) $,则\[ \sum \limits ^n _{k=1} a_kb_k=\sum\limits^ n _{k=1} {\dfrac{1}{n}}=1=\sum \limits ^n _{k=1} b_k ,\]于是由 ① 得\[ \left({\dfrac{1}{nb_1}} \right)^{b_1} \left({\dfrac{1}{nb_2}} \right)^{b_2}\cdots \left({\dfrac{1}{nb_n}} \right)^{b_n}\leqslant 1 ,\]即\[{\dfrac{1}{b^{b_1}_1b^{b_2}_2\cdots b^{b_n}_n}}\leqslant n^{b_1+b_2+\ldots +b_n}=n,\]所以\[b^{b_1}_1b^{b_2}_2\cdots b^{b_n}_n\geqslant {\dfrac{1}{n}} .\] 再证明右边不等式.记 $\displaystyle S=\sum\limits ^ n _{k=1} b^2_k $,令 $ a_k={\dfrac{b_k}{S}}\left(k=1,2,\cdots,n\right) $,则\[ \sum \limits ^n_{ k=1 }a_kb_k={\dfrac{1}{S}}\sum\limits ^ n _{k=1 }b^2_k=1=\sum \limits^{ n }_{k=1 }b_k ,\]于是由 ① 得\[ \left({\dfrac{b_1}{S}}\right) ^{b_1 }\left({\dfrac{b_2}{S}}\right) ^{b_2}\cdots \left({\dfrac{b_n}{S}}\right) ^{b_n}\leqslant 1,\]即\[ b^{b_1}_1b^{b_2}_2\cdots b^{b_n}_n\leqslant S^{b_1+b_2+\cdots+b_n}=S ,\]所以\[ b^{b_1}_1b^{b_2}_2\cdots b^{b_n}_n\leqslant b^2_1+b^2_2+\cdots+b^2_n .\]综上所述,命题得证.

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