每日一题[1452]向量视角

在 $\triangle ABC$ 中,角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$.已知 $c=2\sqrt 5$,且 $2a\sin C\cos B=a\sin A-b\sin B+\dfrac{\sqrt 5}2b\sin C$,点 $O$ 满足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$,$\cos \angle CAO=\dfrac 38$,则 $\triangle ABC$ 的面积为( )

A.$\dfrac{\sqrt{55}}3$

B.$3\sqrt 5$

C.$5\sqrt 2$

D.$\sqrt{55}$

答案 D.

解析 根据正弦定理,题中条件转化为\[2ac\cos B=a^2-b^2+\dfrac{\sqrt 5}2bc,\]再由余弦定理,可得\[2ac\cdot \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=a^2-b^2+\dfrac{\sqrt 5}2bc,\]整理得\[\dfrac cb=\dfrac{\sqrt 5}2.\]考虑到\[\overrightarrow{AO}=\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AC},\]而\[\cos\angle CAO=\langle \overrightarrow{AO},\overrightarrow{AC}\rangle,\]于是\[\overrightarrow{AC}\cdot\left(\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AC}\right)=\left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot \left|\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AC}\right|\cdot \cos\angle CAO,\]即\[\dfrac 13bc\cos A+\dfrac 13b^2=b\cdot \sqrt{\dfrac 19b^2+\dfrac 19c^2+\dfrac 29bc\cos A}\cdot \dfrac 38,\]结合 $\dfrac cb=\dfrac{\sqrt 5}2$,解得\[\cos A=-\dfrac{\sqrt{5}}4,\]$\triangle ABC$ 的面积\[S=\dfrac 12bc\sin \angle BAC=\dfrac 12\cdot 4\cdot 2\sqrt 5\cdot \dfrac{\sqrt{11}}4=\sqrt{55}.\]

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