每日一题[1457]创新数列

设 $m>3$,对于有穷数列 $\{a_{n}\}(n=1,2,\cdots,m)$,令 $b_{k}$ 为 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{k}$ 中的最大值,称数列 $\{b_{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的“创新数列”,数列 $\{b_{n}\}$ 中不相等项的个数称为 $\{a_{n}\}$ 的“创新阶数”.例如数列 $2,1,3,7,5$ 的创新数列为 $2,2,3,7,7$,创新阶数为 $3$.

1、考查自然数 $1,2,\cdots,m(m>3)$ 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列 $\{c_{n}\}$.

2、若 $m=5$,写出创新数列为 $3,4,4,5,5$ 的所有数列 $\{c_{n}\}$. 是否存在数列 $\{c_{n}\}$,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有的数列 $\{c_{n}\}$,若不存在,请说明理由.

3、在创新阶数为 $2$ 的所有数列 $\{c_{n}\}$ 中,求它们的首项的和.

解析

1、$\{c_{n}\}$ 形如 $3,4,(\quad),5(\quad)$,因此 $\{c_{n}\}$ 为 $\{3,4,3,5,1\}$ 或 $\{3,4,1,5,2\}$.

2、情形一 若 $\{c_{n}\}$ 的创新数列为常数列 $k,k,\cdots,k$,则 $k$ 为数列 $\{c_{n}\}$ 中的最大项,即$$k=m,$$于是 $\{c_{n}\}$ 为$$\{m,P(1,2,\cdots,m-1)\},$$其中 $P(1,2,\cdots,m-1)$ 表示 $1,2,\cdots,m-1$ 的任意排列;

情形二 若 $\{c_{n}\}$ 的创新数列为非常数列的等差数列,则数列 $\{c_{n}\}$ 为单调递增数列,于是 $\{c_{n}\}$ 为$$\{1,2,3,\cdots,m\}.$$

3、情形一 若 $\{c_{n}\}$ 首项为 $1$,其创新数列为 $1,m,m,m,\cdots$,于是 $\{c_{n}\}$ 的个数为$$0!(m-2)!.$$

情形二 若 $\{c_{n}\}$ 首项为 $2$,其创新数列为 $2,m,m,m,\cdots\cdots $ 或 $2,2,m,m,\cdots\cdots$.于是 $\{c_{n}\}$ 的个数为$$0!(m-2)!+\mathop{\rm C}\nolimits_{1}^{1}1!(m-3)!.$$

情形三 若 $\{c_{n}\}$ 首项为 $k$,则 $\{c_{n}\}$ 的个数为$$0!(m-2)!+\mathop{\rm C}\nolimits_{k-1}^{1}1!(m-3)!+\mathop{\rm C}\nolimits_{k-1}^{2}2!(m-4)!+\cdots+\mathop{\rm C}\nolimits_{k-1}^{k-1}(k-1)!(m-k-1)!.$$ $\cdots\cdots$

情形四 若 $\{c_{n}\}$ 首项为 $m-1$,则 $\{c_{n}\}$ 的个数为$$ 0!(m-2)!+\mathop{\rm C}\nolimits_{m-2}^{1}1!(m-3)!+\mathop{\rm C}\nolimits_{m-2}^{2}2!(m-4)!+\cdots+\mathop{\rm C}\nolimits_{m-2}^{m-2}(m-2)!0!.$$ 因此所有首项的和\[\begin{split}S&=(m-2)!\left[1+2+\cdots+(m-1)\right]+(m-3)!\left[1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots+(m-1)(m-2)\right]+\cdots+(m-2)!\\ &=(m-2)!\cdot \dfrac{(m-1)m}{2}+(m-3)!\cdot \dfrac{(m-2)(m-1)}{3}+\cdots+(m-1)!\\&=m!\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{m}\right).\end{split}\]

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