已知函数 $f(x)=x\mathrm{e}^{2x}-{\ln}x-ax$．
1、当 $a=0$ 时，求函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac12,1\right]$ 上的最小值；
2、若 $\forall x>0$，不等式 $f(x)\geqslant 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
3、若 $\forall x>0$，不等式 $f\left(\dfrac1x\right)-1\geqslant \dfrac1x\mathrm{e}^{\frac2x}+\dfrac{\frac1{\mathrm{e}-1}+\frac1x}{\mathrm{e}^{\frac x{\mathrm{e}}}}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
如题，很多读者写邮件给我，但工作太忙无法一一回复，所以放在这里方便大家．
已知实数 $a,b$ 满足 $\ln (b+1)+a-3b=0$，实数 $c,d$ 满足 $2d-c-\sqrt 5=0$，则 $(a-c)^2+(b-d)^2$ 的最小值为_______．
已知圆 $C:(x-1)^2+y^2=r^2$（$r>1$）．设 $A$ 为圆 $C$ 与 $x$ 轴负半轴的交点，过点 $A$ 作圆 $C$ 的弦 $AM$，并使弦 $AM$ 的中点恰好落在 $y$ 轴上．
1、求点 $M$ 的轨迹 $E$ 的方程；
2、延长 $MC$ 交曲线 $E$ 于点 $N$，曲线 $E$ 在点 $N$ 处的切线与直线 $AM$ 交于点 $B$，试判断以 $B$ 为圆心，线段 $BC$ 长为半径的圆与直线 $MN$ 的位置关系，并证明你的结论．
在数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1=\dfrac 25$，$a_{n+1}=\dfrac{2a_n-4}{9a_n-10}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$．
1、令 $b_n=\dfrac{2a_n}{2-3a_n}$，求证：数列 $\{b_n\}$ 成等差数列；
2、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；
3、是否存在正整数 $k,m,n$（$1\leqslant k<m<n$），使 $a_k,a_m,a_n$ 成等比数列？若存在，请写一组 $(k,m,n)$ 的值，若不存在，请证明你的结论．
已知 $x,y,z>0$，且 $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$，求证：$\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\dfrac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\dfrac{1-z}{1+z}}\geqslant \sqrt3$．
若正实数 $a,b$ 满足 $a+2b=2$，则 $\dfrac1{a^2}+\dfrac a{2b^2}$ 的最小值为_______．
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$，过点 $P(0,3)$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $A,B$ 两点，以线段 $AB$ 为直径作圆，试问该圆能否经过原点？若能，求出以 $AB$ 为直径的圆过原点时直线 $l$ 的方程；若不能，请说明理由．
