每日一题[1186]指对混合不等式

求证:$x^x>4\ln x$.

    题中不等式即\[x\ln x>\ln\ln x+\ln 4,\]也即\[x{\rm e}^x>\ln x+\ln 4,\]也即\[\dfrac{{\rm e}^x}{x^{\frac 12}}>\dfrac{\ln x+\ln 4}{x^{\frac 32}}.\]事实上,不难证明\[\dfrac{{\rm e}^x}{x^{\frac 12}}\geqslant \sqrt {2{\rm e}}>\dfrac 23{\rm e}^{\frac 54}\geqslant \dfrac{\ln x+\dfrac 32}{x^{\frac 32}}>\dfrac{\ln x+\ln 4}{x^{\frac 32}},\]因此命题得证.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[1186]指对混合不等式》有 1 条评论

  1. ccmxigua说:

    谢谢老师 您太厉害了...您是如何想到除以根号x的呢?这个构造太巧妙了

发表评论