每日一题[1188]找切线

已知实数 $a,b$ 满足 $\ln (b+1)+a-3b=0$,实数 $c,d$ 满足 $2d-c-\sqrt 5=0$,则 $(a-c)^2+(b-d)^2$ 的最小值为_______.

    $1$.

所求代数式为函数\[f(x)=3x-\ln (x+1)\]上的点 $M(a,f(a))$ 与直线\[g(x)=2x-\sqrt 5\]上的点 $N(b,g(b))$ 之间的距离 $m$ 的平方.由于函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=3-\dfrac{1}{x+1},\]于是其在 $x=0$ 处的切线为 $y=2x$.因此所求代数式的最小值为\[\left|\dfrac{0-\left(\sqrt 5\right)^2}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}\right|^2=1.\]

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