每日一题[1182]余弦“聚变”

已知$x$是锐角,求证:$\tan(\sin x)>\sin (\tan x)$.

    设函数\[f(x)=\tan (\sin x)-\sin(\tan x),\]则\[f'(x)=\dfrac{\cos x}{\cos^2(\sin x)}-\dfrac{\cos(\tan x)}{\cos^2x}=\dfrac{\cos^3x-\cos(\tan x)\cos^2(\sin x)}{\cos^2(\sin x)\cos^2x}.\]

情形一    当 $x\in\left(0,\arctan\dfrac{\pi}2\right)$ 时,有 $\sin x,\tan x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$.根据均值不等式以及余弦函数在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上上凸,于是\[\sqrt[3]{\cos(\tan x)\cos^2(\sin x)}\leqslant \dfrac{\cos(\tan x)+2\cos(\sin x)}{3}\leqslant\cos\dfrac{\tan x+2\sin x}{3}.\]设函数\[\varphi(x)=\tan x+2\sin x-3x,\]则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}+2\cos x-3> 0,\]结合 $\varphi(0)=0$,因此在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上有\[\varphi(x)>\varphi(0)=0,\]因此在 $\left(0,\arctan\dfrac{\pi}2\right)$ 上有\[x<\dfrac{\tan x+2\sin x}3,\]因此在 $\left(0,\arctan\dfrac{\pi}2\right)$ 上有\[f'(x)>0,\]结合 $ f(0)=0 $,可得命题成立.

情形二    当 $ x\in\left[\arctan\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 时,有\[\dfrac{\pi}4<\sqrt{\dfrac{\pi^2}{\pi^2+4}}\leqslant\sin\left(\arctan\dfrac{\pi}2\right)<\sin x<1,\]于是\[1<\tan(\sin x)<\tan 1,\]进而 $f(x)>0$,命题成立. 综上所述,原命题得证.

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