每日一题[1181]椭圆的内准圆

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$,过点 $P(0,3)$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $A,B$ 两点,以线段 $AB$ 为直径作圆,试问该圆能否经过原点?若能,求出以 $AB$ 为直径的圆过原点时直线 $l$ 的方程;若不能,请说明理由.

解法一    显然直线 $AB$ 斜率存在,设为 $k$.则直线 $AB$ 方程 $l_{AB}:y=kx+3$.设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,由直线方程 $l_{AB}$ 与椭圆方程 $C$ 联立消 $y$ 可得$$(4+9k^2)x^2+54kx+45=0,$$于是$$ \begin{cases} x_1x_2=\dfrac{45}{4+9k^2},\\ x_1+x_2=-\dfrac{54k^2}{4+9k^2}.\end{cases}$$由于$$\begin{split} \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}&=x_1x_2+y_1y_2\\ &=x_1x_2+(kx_1+3)(kx_2+3)\\ &=(k^2+1)x_1x_2+3k(x_1+x_2)+9\\ &=\dfrac{81-36k^2 }{4+9k^2}\end{split}$$若以 $AB$ 为直径的圆经过原点,则$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0,$$即有 $k=\pm \dfrac32$.因此符合题设的直线 $l_{AB}$ 方程为 $3x-2y+6=0$ 或 $3x+2y-6=0$.

解法二    根据题意,若以 $AB$ 为直径的圆过原点 $O$,则 $OA\perp OB$.设直线 $l$ 的方程为\[kx+y-3=0,\]根据椭圆的内准圆性质,有\[\dfrac{k^2+1}{9}=\dfrac 19+\dfrac 14,\]于是\[k^2=\dfrac 94,\]进而直线 $l$ 的方程为 $\pm 3x-2y+6=0$.

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