每日一题[1185]数列中的不定方程

在数列 $\{a_n\}$ 中,已知 $a_1=\dfrac 25$,$a_{n+1}=\dfrac{2a_n-4}{9a_n-10}$,$n\in\mathbb N^{\ast}$.

1、令 $b_n=\dfrac{2a_n}{2-3a_n}$,求证:数列 $\{b_n\}$ 成等差数列;

2、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式;

3、是否存在正整数 $k,m,n$($1\leqslant k<m<n$),使 $a_k,a_m,a_n$ 成等比数列?若存在,请写一组 $(k,m,n)$ 的值,若不存在,请证明你的结论.

    1、根据题意,有\[a_{n+1}-\dfrac 23=\dfrac{2a_n-4}{9a_n-10}-\dfrac 23=-\dfrac{4\left(a_n-\dfrac 23\right)}{9a_n-10},\]于是\[\dfrac{1}{a_{n+1}-\dfrac 23}=-\dfrac{9a_n-10}{4\left(a_n-\dfrac 23\right)}=-\dfrac 94+\dfrac{1}{a_n-\dfrac 23},\]于是\[\dfrac{2a_{n+1}}{2-3a_{n+1}}-\dfrac{2a_n}{2-3a_n}=1,\]因此数列 $\{b_n\}$ 是首项为 $1$,公差为 $1$ 的等差数列.

2、根据第 $(1)$ 小题的结果,有\[b_n=n,n\in\mathbb N^{\ast},\]于是可得\[a_n=\dfrac{2n}{3n+2},n\in\mathbb N^{\ast}.\]

3、根据题意,有\[\dfrac{2k}{3k+2}\cdot \dfrac{2n}{3n+2}=\left(\dfrac{2m}{3m+2}\right)^2,\]整理可得\[n=\dfrac{(3k+2)m^2}{2k+6km-3m^2},\]注意到当 $m=2k$ 时,该方程即\[n=2k(3k+2),\]于是存在无数组符合题意的 $(k,m,n)$,例如 $\left(k,2k,6k^2+4k\right)$,其中 $k\in\mathbb N^{\ast}$.

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