每日一题[1187]抛物线的光学性质

已知圆 $C:(x-1)^2+y^2=r^2$($r>1$).设 $A$ 为圆 $C$ 与 $x$ 轴负半轴的交点,过点 $A$ 作圆 $C$ 的弦 $AM$,并使弦 $AM$ 的中点恰好落在 $y$ 轴上.

1、求点 $M$ 的轨迹 $E$ 的方程;

2、延长 $MC$ 交曲线 $E$ 于点 $N$,曲线 $E$ 在点 $N$ 处的切线与直线 $AM$ 交于点 $B$,试判断以 $B$ 为圆心,线段 $BC$ 长为半径的圆与直线 $MN$ 的位置关系,并证明你的结论.

    1、根据题意,有 $A(1-r,0)$,于是 $M(x,y)$ 满足\[\begin{cases} (1-r)+x=0,\\ (x-1)^2+y^2=r^2,\end{cases}\]解得\[\begin{cases} x=r-1,\\ y^2=4r-4,\end{cases}\]于是点 $M$ 的轨迹 $E:y^2=4x$.

2、如图.

由于 $CA=CM$,于是 $\angle CAM=\angle CMA$,根据抛物线的光学性质,直线 $AM$ 是抛物线 $E$ 的切线,于是 $MN$ 是点 $B$ 对抛物线 $E$ 的切点弦,设 $B(m,n)$,则\[MN:ny=2(x+m),\]且 $C$ 在直线 $MN$ 上,因此 $m=-1$.而直线 $BC$ 的斜率\[k=\dfrac{n-0}{m-1}=-\dfrac n2,\]因此 $BC\perp MN$,从而以 $B$ 为圆心,线段 $BC$ 长为半径的圆与直线 $MN$ 相切.

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