每日一题[1184]三角代换

已知 $x,y,z>0$,且 $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$,求证:$\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\dfrac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\dfrac{1-z}{1+z}}\geqslant \sqrt3$.

    由于三角形 $\triangle ABC$ 三内角 $A,B,C$ 满足恒等式$$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1,$$而题中$$-1<x,y,z<1,$$因此可以考虑设$$\begin{cases} x=\cos A,\\ y=\cos B,\\ z=\cos C. \end{cases}$$则$$\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\dfrac{1-y}{1+y}}+\sqrt{\dfrac{1-z}{1+z}}=\tan\dfrac A2+\tan\dfrac B2+\tan \dfrac C2,$$则原不等式等价于证明$$\tan\dfrac A2+\tan\dfrac B2+\tan \dfrac C2\geqslant \sqrt3,$$而$$\sum_{cyc}\tan\dfrac A2\tan\dfrac B2=1$$恒成立,因此$$\sum_{cyc}\tan\dfrac A2=\sqrt{\left(\sum_{cyc}\tan\dfrac A2\right)^2}\geqslant\sqrt{3\sum_{cyc}\tan\dfrac A2\tan\dfrac B2}=\sqrt3, $$证毕.

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每日一题[1184]三角代换》有 5 条评论

  1. Math-Medivh说:

    能帮助我严格证明这个问题吗:$x^x>4\ln x$

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