Math173

在一个边长为 $a$ 的正方形草坪的四个角上都安有喷水装置，喷水装置可以 $90^{\circ}$ 旋转喷水，每个喷水装置都可以从其所在角的一边旋转喷水至该角的另一边，其有效射程均为 $a$，则能同时被四个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为_______．

继续阅读 →

已知 $x,y,z \in \mathbb R^+$，且 $x^2+y^2+xy=1$，$y^2+z^2+yz=2$，$z^2+x^2+zx=3$，则 $x+y+z=$ _______．

继续阅读 →

在棱长为 $1$ 的正方体 $C$ 内，作一个内切大球 $O_1$，再在 $C$ 内作一个小球 $O_2$，使它与大球 $O_1$ 外切，同时与正方体的三个面都相切，则球 $O_2$ 的表面积为_______．

继续阅读 →

已知函数 $f(x)=a\ln x+x^2-ax$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、若函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，且 $x_1>3>x_2$，求证：$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<6\ln 2-\dfrac 92$．

继续阅读 →

已知函数 $f(x)=(2-x){\rm e}^{k(x-1)}-x$，其中 $k$ 为实数，${\rm e}$ 为自然对数的底数．

1、若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减，求 $k$ 的最大值．

2、当 $x\in (1,2)$ 时，证明：$\ln\dfrac{x(2x-1)}{2-x}>2\left(x-\dfrac 1x\right)$．

继续阅读 →

已知无穷数列 $\{x_n\},\{y_n\}$：对任意正整数 $n$，$x_{n+1}=3x_n+2y_n$，$y_{n+1}=4x_n+3y_n$，且 $x_1=3$，$y_1=4$．

1、求证：$\{2x_n^2-y_n^2\}$ 为常数列．

2、分别判断数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 中是否含有整数的立方．

继续阅读 →

已知椭圆 $E: x^2+4y^2=4$ 的左、右顶点分别为 $M,N$，过点 $P(-2,2)$ 作直线与椭圆 $E$ 交于 $A,B$ 两点，且 $A,B$ 位于第一象限，$A$ 在线段 $BP$ 上，直线 $OP$ 与直线 $NA$ 相交于 $C$ 点，连接 $MB,MC,AM$．直线 $AM,AC,MB,MC$ 的斜率分别记为 $k_{AM},k_{AC},k_{MB},k_{MC}$．求证：$\dfrac {k_{MA}}{k_{MB}}=\dfrac {k_{CM}}{k_{CN}}$．

继续阅读 →

已知锐角三角形 $ABC$ 中，$\sin (A+B)=\dfrac 35$，$\sin (A-B)=\dfrac 15$，$AB=3$，则 $\triangle ABC$ 的面积为_______．

继续阅读 →

设函数 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a \ne 0$）满足 $|f(0)| \leqslant 2$，$|f(2)| \leqslant 2$，$|f(-2)| \leqslant 2$，求当 $x \in [-2,2]$ 时 $y=|f(x)|$ 的最大值．

继续阅读 →

设椭圆 $C$ 的左、右顶点为 $A(-a,0)$，$B(a,0)$，过右焦点 $F(1,0)$ 作非水平直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P,Q$ 两点，记直线 $AP,BQ$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，试证：$\dfrac {k_1}{k_2}$ 为定值，并求此定值（用 $a$ 的函数表示）．

继续阅读 →