每日一题[1412]正四面体与圆锥面

等腰直角三角形 $ABE$ 的斜边为正四面体 $ABCD$ 的侧棱,直角边 $AE$ 绕斜边 $AB$ 旋转,则在旋转的过程中,下列说法正确的有(       )

A.四面体 $E-BCD$ 的体积有最大值和最小值

B.存在某个位置,使得 $AE\perp BD$

C.设二面角 $D-AB-E$ 的平面角为 $\theta$,则 $\theta\geqslant \angle DAE$

D.$AE$ 的中点 $M$ 与 $AB$ 的中点 $N$ 连线交平面 $BCD$ 于点 $P$,则点 $P$ 的轨迹为椭圆

答案    ABD.

解析    如图.

如图,$E$ 的轨迹是以 $AB$ 的中点 $N$ 为圆心,所在平面与 $AB$ 垂直,半径 $r=\dfrac 12AB$ 的圆 $N$.

选项 A     设 $CD$ 的中点为 $T$,则 $NT>r$,于是圆 $N$ 与平面 $BCD$ 没有公共点,因此四面体 $E-BCD$ 的体积有最大值和最小值,命题正确.

选项 B     设 $\triangle BCD$ 的中心为 $H$,$BD$ 的中点为 $S$,则圆 $N$ 与平面 $AHS$ 的公共点位置就是使得 $AE\perp BD$ 的位置,命题正确.

选项 C     二面角 $D-AB-E$ 取 $0^\circ$ 时,显然有 $\theta<\angle DAE$,命题错误.

选项 D     本质即以 $N$ 为锥顶,$NM$ 为母线的圆锥面被平面 $BCD$ 所截得到的轨迹.由于旋转轴与母线所成的角为 $45^\circ$,而旋转轴与截面所成角为 $\angle TBA>45^\circ$,于是截得轨迹为椭圆,命题正确.

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