每日一题[1415]比大小

如图,正四面体 $ABCD$ 中,点 $P,Q,R$ 分别在棱 $AB,AD,AC$ 上,且 $AQ=QD$,$\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{CR}{RA}=\dfrac 12$,分别记二面角 $A-PQ-R$,$A-PR-Q$,$A-QR-P$ 的平面角为 $\alpha,\beta,\gamma$,则(       )

A.$\beta>\gamma>\alpha$

B.$\gamma>\beta>\alpha$

C.$\alpha>\gamma>\beta$

D.$\alpha>\beta>\gamma$

答案    D.

解析    记 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ 分别为 $a,b,c$,且\[|a|=|b|=|c|=1,a\cdot b=b\cdot c=c\cdot a=\dfrac 12.\]易得 $APR,ARQ,AQP$ 的法向量分别为\[\begin{split} n_1=a+b-3c,\\ n_2=b+c-3a,\\ n_3=c+a-3b,\end{split}\]由于\[\overrightarrow{PR}=\dfrac 23b-\dfrac 13a,\overrightarrow{RQ}=\dfrac 12c-\dfrac 23b,\]因此 $PRQ$ 的法向量 $n=xa+yb+zc$ 满足\[\begin{cases} (xa+yb+zc)\cdot \left(\dfrac 23b-\dfrac 13a\right)=0,\\ (xa+yb+zc)\cdot \left(\dfrac 12c-\dfrac 23b\right)=0,\end{cases}\]即\[\begin{cases} 3y+z=0,\\ x+5y-2z=0,\end{cases}\]于是可取\[n=11a-b+3c,\]因此\[\begin{split} n_1\cdot n&=11a^2-b^2-9c^2+10a\cdot b+6b\cdot c-30c\cdot a=-6,\\ n_2\cdot n&=-33a^2-b^2+3c^2+14a\cdot b+2b\cdot c+2c\cdot a=-22,\\ n_3\cdot n&=11a^2+3b^2+3c^2-34a\cdot b-10b\cdot c+14c\cdot a=2,\end{split}\]考虑到 $|n_1|=|n_2|=|n_3|$,以及 $\gamma$ 必然为锐角,于是\[\alpha>\dfrac{\pi}2>\beta>\gamma.\]

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