每日一题[1411]抛物线的“蒙日圆”

已知 $y^2=4ax$ 的两条切线相交成 $\theta$ 角($\theta$ 为常数),求角的顶点的轨迹方程.

答案    $x^2\sin^2\theta+2a(1+\cos^2\theta)x-y^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta=0$.

解析    设角的顶点为 $P(x_0,y_0)$,切点为 $A(at^2,2at)$,$B(as^2,2as)$,代入切点弦 $AB$ 的方程\[y_0y=2a(x_0+x),\]于是 $t,s$ 是关于 $u$ 的一元二次方程\[au^2-y_u+x_0=0\]的两根.由韦达定理有\[t+s=\dfrac{y_0}a,ts=\dfrac{x_0}a,\]切线 $PA$ 的方程为\[2aty=2a(at^2+x),\]即\[x-ty+at^2=0,\]于是切线 $PA$ 的法向量为 $\overrightarrow \alpha=(1,-t)$,类似的,切线 $PB$ 的法向量为 $\overrightarrow \beta=(1,-s)$,根据题意,有\[\left|\overrightarrow \alpha\cdot \overrightarrow \beta\right|=\left|\overrightarrow\alpha\right|\cdot \left|\overrightarrow\beta\right|\cdot \cos\theta,\]即\[(1+ts)^2=(1+t^2)(1+s^2)\cos^2\theta,\]即\[x^2\sin^2\theta+2a(1+\cos^2\theta)x-y^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta=0.\]

此条目发表在每日一题分类目录。将固定链接加入收藏夹。

发表评论