Math173

称所有元素的平方和为奇数的非空有限数集为平凡集，若集合 $A=\{1,2,3,\cdots,2016,2017\}$，则 $A$ 的所有真子集中平凡集的个数为（允许用数的幂次表示）_______．

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已知 $a>0$，$f(x)={\ln}(2x+1)+2ax-4a{\mathrm e}^x+4$．

1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的最大值．

2、判断函数 $f(x)$ 零点的个数，并说明理由．

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若关于 $x$ 的方程 $x^2+ax+b-3=0$（$a,b \in \mathbb R$）在区间 $[1,2]$ 上有实根，则 $a^2+(b-4)^2$ 的最小值为_______．

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已知 $P$ 为双曲线 $C: \dfrac {x^2}{4}-\dfrac {y^2}{12}=1$ 上一点，$F_1,F_2$ 为双曲线的左、右焦点，$M,I$ 分别为 $\triangle PF_1F_2$ 的重心、内心，若 $MI \perp x$ 轴，则 $\triangle PF_1F_2$ 内切圆的半径为_______．

答案    $\sqrt 6$．

解析    如图，设 $I$ 在 $\triangle PF_1F_2$ 三边上的投影分别为 $D,E,F$．

根据题意，有\[DF_1-DF_2=F_1F-F_2E=(PF_1-PF)-(PF_2-PE)=PF_1-PF_2=4,\]于是 $D$ 在双曲线 $C$ 上，为其右顶点．进而由 $MI\perp x$ 轴可得，$M$ 点的横坐标为 $2$，进而 $P(6,4\sqrt 6)$．根据双曲线的焦半径公式 $I$，有 $\triangle PF_1F_2$ 的内切圆的半径\[r=\dfrac{F_1F_2\cdot y_0}{PF_1+F_1F_2+F_2P}=\dfrac{2cy_0}{2ex_0+2c}=\sqrt 6,\]其中 $e$ 为双曲线的离心率，$x_0,y_0$ 为 $P$ 点横、纵坐标，$c$ 为双曲线半焦距．

已知椭圆 $C:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $P(-2,1)$，且离心率为 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$．过点 $P$ 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 $A,B$ 两点（$A,B$ 与点 $P$ 不重合）．求证：直线 $AB$ 过定点，并求该定点的坐标．

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求最大的正整数 $n$，将正整数 $1$ 到 $400$ 任意填入 $20\times 20$ 的 $400$ 个方格中，则总有一行或一列，其中两个数之差不小于 $n$．

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已知椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）经过点 $P\left(\dfrac {\sqrt 6}{2},\dfrac 12 \right)$，离心率为 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$，动点 $M(2,t)$（$t>0$）．

1、求椭圆的标准方程．

2、求以 $OM$ 为直径且被直线 $3x-4y-5=0$ 截得的弦长为 $2$ 的圆的方程．

3、设 $F$ 是椭圆的右焦点，过点 $F$ 作 $OM$ 的垂线与以 $OM$ 为直径的圆交于点 $N$，证明线段 $ON$ 的长为定值，并求出这个定值．

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已知正实数列 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$，$\cdots$ 满足：

① $a_{n+1}=a_1^2a_2^2\cdots a_n^2-3$（$n \in \mathbb N^+$）；

② $\dfrac 12(a_1+\sqrt {a_2-1})\in \mathbb N^+$． 求证：$\dfrac 12(a_1a_2\cdots a_n +\sqrt {a_{n+1}-1})\in \mathbb N^+$．

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实数 $x,y \in (1,+\infty)$，且 $xy-2x-y+1=0$，求 $\dfrac 32x^2+y^2$ 的最小值．

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