每日一题[1413]比大小

如图,矩形 $ABCD$ 沿对角线 $BD$ 将 $\triangle ABD$ 翻折成 $\triangle A'BD$,异面直线 $CD$ 与 $A'B$ 所成的角为 $\alpha$,则(       )

A.$\alpha<\angle A'CD$

B.$\alpha>\angle A'CD$

C.$\alpha<\angle A'CA$

D.$\alpha>\angle A'CA$

答案    D.

解析    取 $ABCD$ 为正方形,且 $A'BD\perp ABCD$,可得\[\alpha=\angle A'CD=60^\circ,\angle A'CA=45^\circ,\]排除选项 ABC,下面证明选项 D. 过 $A$ 作 $BD$ 的垂线,垂足为 $O$,建立空间直角坐标系 $O-ABz$,设 $OA=1$,$\angle OAD=\theta$,则\[A(1,0,0),B\left(0,\dfrac{1}{\tan\theta},0\right),C\left(-1,\dfrac{1}{\tan\theta}-\tan\theta,0\right),D\left(0,-\tan\theta,0\right),A'(\cos\varphi,0,\sin\varphi),\]于是\[\overrightarrow{BA'}=\left(\cos\varphi,-\dfrac{1}{\tan\theta},\sin\varphi\right),\overrightarrow{BA}=\left(1,-\dfrac{1}{\tan\theta},0\right),\]进而\[\begin{split}\cos\alpha&=\dfrac{\cos\varphi+\dfrac{1}{\tan^2\theta}}{1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}}\\ &=\sin^2\theta\cos\varphi+\cos^2\theta\\ &=\sqrt{2\sin^2\theta\cos^2\theta\cos\varphi+\cos^4\theta+\sin^4\theta\cos^2\varphi},\end{split}\]而\[\overrightarrow{CA'}=\left(\cos\varphi+1,-\dfrac{1}{\tan\theta}+\tan\theta,\sin\varphi\right),\overrightarrow{CA}=\left(2,-\dfrac{1}{\tan\theta}+\tan\theta,0\right),\]进而\[\begin{split}\cos\angle A'CA&=\dfrac{2\cos\varphi+\tan^2\theta+\dfrac{1}{\tan^2\theta}}{\sqrt{2\cos\varphi+\tan^2\theta+\dfrac{1}{\tan^2\theta}}\cdot \sqrt{2+\tan^2\theta+\dfrac{1}{\tan^2\theta}}}\\ &=\sqrt{2\sin^2\theta\cos^2\theta\cos\varphi+\cos^4\theta+\sin^4\theta},\end{split}\]因此\[\cos\alpha<\cos\angle A'CA,\]即\[\alpha>\angle A'CA.\]

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