每日一题[1409]无限反射

段数有限的折线内接于抛物线,其始点与抛物线的顶点重合,折线中任意共顶点的两线段与抛物线在该点处的切线都成等角.证明:这样的折线只能位于抛物线对称轴一侧.

解析    不妨设抛物线为 $y=ax^2$($a>0$),依次取折线上三个相邻的顶点 $A_i(x_i,ax_i^2)$($i=n,n+1,n+2$,$n\in\mathbb N^{\ast}$),于是直线 $A_nA_{n+1}$、在 $A_{n+1}$ 处的切线、直线 $A_{n+1}A_{n+2}$ 的斜率 $k_1,k,k_2$ 分别为\[\begin{split} k_1&=a(x_n+x_{n+1}),\\ k&=2ax_{n+1},\\ k_2&=a(x_{n+1}+x_{n+2}),\end{split}\]进而由题中的等角条件,可得\[\dfrac{2k}{1-k^2}=\dfrac{k_1+k_2}{1-k_1k_2},\]整理可得\[(4a^2x_{n+1}^2+1)(x_{n+1}-x_n)^2=(4a^2x_nx_{n+1}+1)(x_{n+2}-x_{n+1})(x_{n+1}-x_n),\]于是 $x_{n+1}-x_n$ 与 $x_{n+2}-x_{n+1}$ 同号,进而当折线始于原点时,折线总在抛物线的对称轴同一侧,命题得证.

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