已知单位向量 $\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2$ 的夹角为 $120^\circ$，$\left|x\overrightarrow e_1+y\overrightarrow e_2\right|=\sqrt 3$（$x,y\in\mathbb R$），则 $\left|x\overrightarrow e_1-y\overrightarrow e_2\right|$ 的取值范围是_______．
已知 $a,b,c\in\mathbb R$，求证：$|a|+|b|+|c|+|a+b+c|\geqslant |a+b|+|b+c|+|c+a|$，并指出等号取得的条件．
已知 $a,b,c>0$，且 $2a^2+b^2=9c^2$，则 $m=\dfrac{2c}{a}+\dfrac cb$ 的最小值为_______．
答案 $\sqrt 3$．
解析 根据题意，有\[\begin{split} m&=\dfrac {\left(2c^{\frac 23}\right)^{\frac 32}}{(2a^2)^{\frac 12}}+\dfrac {\left(c^{\frac 23}\right)^{\frac 32}}{(b^2)^{\frac 12}}\\ &\geqslant \dfrac{\left(2c^{\frac 23}+c^{\frac 23}\right)^{\frac 32}}{\left(2a^2+b^2\right)^{\frac 12}}\\ &=\sqrt 3,\end{split}\]等号当\[\dfrac{2c^{\frac 23}}{2a^2}=\dfrac{c^{\frac 23}}{b^2}\]时取得，因此所求最小值为 $\sqrt 3$．
已知非负实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，若 $a^3+2b^2+\dfrac{10}3c$ 的最大值和最小值分别为 $M$ 和 $m$，则 $M+m=$ _______．
设 $f(x,y)=\sqrt{x-y+1}+\sqrt{2x+y-2}+\sqrt{2-x}$，则函数 $z=f(x,y)$ 的最大值 $M$ 与最小值 $m$ 的比 $\dfrac Mm=$ _______．
设 $a,b\geqslant \dfrac 12$ 且 $a^2+b^2=a+b$，则 $M=\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{a^2}b$ 的取值范围是（ ）
A．$\left[2,1+\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$
B．$\left[1,1+\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$
C．$\left[2,\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$
D．$\left[1,\dfrac{3\sqrt 2}2\right]$
已知函数 $f(x)=x^2+a\ln x$（$a$ 为常数）． 若函数 $f(x)$ 的图象在 $x=1$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距等于 $-2$，
1、求实数 $a$ 的值．
2、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
3、当 $a>0$ 时，若关于 $x$ 的方程 $2{\rm e}f(x)=x^3+4{\rm e}x$ 的解集非空，求实数 $a$ 的取值范围．
已知 $2\tan(\alpha+\beta)=3\tan \alpha$，则 $A=\sin^2\beta-\sin(2\alpha+\beta)$ 的最大值为_______．
函数 $f(x)=x$，$g(x)=x^2-x+3$．若存在 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in\left[0,\dfrac 92\right]$，使得 $f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})+g(x_n)=g(x_1)+g(x_2)+\cdots+g(x_{n-1})+f(x_n)$，则 $n$ 的最大值为（ ）
A．$5$
B．$6$
C．$7$
D．$8$
