每日一题[1601]一数三制

已知由 $3$ 的幂或者若干个不同的 $3$ 的幂之和组成的递增数列:$1,3,4,9,10,12,13,\cdots$,则此数列的第 $100$ 项是_______.

答案    $981$.

解析    用三进制书写,数列为\[1_{(3)},10_{(3)},11_{(3)},100_{(3)},101_{(3)},110_{(3)},111_{(3)},\cdots,\]其中位数为 $n$ 的数有 $2^{n-1}$ 个,而\[100_{(10)}=1100100_{(2)},\]于是所求第 $100$ 项为\[1100100_{(3)}=729+243+9=981.\]

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