Math173

设 $\theta \in [0,2\pi]$，若对任意 $x \in [0,1]$ 恒有$$2x^2\sin \theta -4x(1-x)\cos \theta +3(1-x)^2>0,$$则 $\theta$ 的取值范围是______．

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如图，已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点在椭圆 $ \dfrac {x^2}{12}+\dfrac {y^2}{4}=1$ 上，坐标原点 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的重心．试求 $\triangle ABC$ 的面积．

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若函数 $f(x)=x^3-6x^2+9x$ 在 $(3-a^2,a)$ 内有最大值，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

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已知正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $a$（$a>3$）如图所示，点 $E,F,G$ 分别在棱 $AB,AC,AD$ 上．则满足 $EF=EG=3$，$FG=2$ 的 $\triangle EFG$ 的个数共有（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．$4$

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已知 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a,b,c$，且 $a^{\pi}+b^{\pi}=c^{\pi}$（$\pi$ 是圆周率），则 $\triangle ABC$ 为（       ）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．以上皆有可能

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设 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，则方程 $2^x-2[x]-1=0$ 的实数解的个数为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．$4$

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如图，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AB=AC=5$，$D,E$ 分别为 $BC,BB_1$ 的中点，四边形 $B_1BCC_1$ 是边长为 $6$ 的正方形．

1、求证：$A_1B \parallel AC_1D$．

2、求证：$CE \perp AC_1D$．

3、求二面角 $C-AC_1-D$ 的余弦值．

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掷一枚硬币，每次出现正面得 $1$ 分，出现反面得 $2$ 分．反复掷这枚硬币，则恰好得 $n$ 分的概率为[[nn]]．

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如图所示，三个半径为 $r$ 的汤圆（球形）装入半径为 $6 \mathrm {cm}$ 的半球面碗中，三个汤圆的顶端恰与碗口共面，则汤圆半径 $r=$ _______ $\mathrm {cm}$．

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已知双曲线 $\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$），$A_1,A_2$ 是实轴顶点，$F$ 是右焦点，$B(0,b)$ 是虚轴端点，若在线段 $BF$ 上（不含端点）存在不同的两点 $P_i$（$i=1,2$），使得 $\triangle P_iA_1A_2$（$i=1,2$）构成以 $A_1A_2$ 为斜边的直角三角形，则双曲线的离心率 $e$ 的取值范围是_______．

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