Math173

已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=\dfrac 52$，$2a_{n+1}=a_n^2+1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），若 $\dfrac{2a_1-1}{a_1+1}+\dfrac{2a_2-1}{a_2+1}+\cdots+\dfrac{2a_{2018}-1}{a_{2018}+1}>m$ 成立，则整数 $m$ 的最大值为_______．

$\dfrac {1-2{\log_6}5 \cdot {\log_{10}}3 \cdot {\log_{15}}2}{ {\log_6}5 \cdot {\log_{10}}3+ {\log_{10}}3 \cdot {\log_{15}}2+ {\log_{15}}2 \cdot {\log_6}5}$ 的值为_______．

解不定方程 $\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots+\sqrt x}}}}_{2019}=y$，其中 $x,y\in\mathbb N^{\ast}$．

解方程：$8x^3-6x-1=0$．

求证：各项均为正整数且有一项为完全平方数的无穷等差数列中必然有无穷多项为完全平方数．

已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 满足对任意的 $x\in[-1,1]$，有 $|f(x)|\leqslant 1$，求证：对任意 $x\in[-1,1]$，有 $|cx^2+bx+a|\leqslant 2$．

是否存在正整数 $x,y$，使得 $x^2+y$ 和 $y^2+x$ 都是完全平方数？

已知复数 $z_1=\sin\theta+2{\rm i}$，$z_2=1+{\rm i}\cos\theta$，则 $\dfrac{14-\left|z_1+{\rm i}z_2\right|^2}{\left|z_1-{\rm i}z_2\right|}$ 的最小值为（ ）

A．$2$

B．$2\sqrt 2$

C．$2\sqrt 3$

D．前三个答案都不对

在 $\triangle{ABC}$ 中，已知 $6\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}$，则 $\angle A=$ （ ）

A．$30^{\circ}$

B．$45^{\circ}$

C．$60^{\circ}$

D．$135^{\circ}$

设关于 $x$ 的方程 $x^2-2ax|x-a|-2ax+1=0$ 有 $3$ 个互不相同的实根，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）

A．$[1,+\infty)$

B．$(-\infty,-1]$

C．$[-1,0)\cup (0,1]$

D．前三个答案都不对