每日一题[1603]四次方程的韦达定理

设一圆和一等轴双曲线交于 $A_1,A_2,A_3,A_4$ 四点,其中 $A_1$ 和 $A_2$ 是圆的直径的一对端点.

1、求证:线段 $A_3A_4$ 的中点是双曲线的中心.

2、求双曲线在点 $A_3$ 和 $A_4$ 处的切线和直线 $A_1A_2$ 的夹角的大小.

解析

1、设双曲线方程为 $xy=1$,圆的方程为 $(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$,设 $A_1,A_2,A_3,A_4$ 的坐标分别为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4)$,联立双曲线与圆的方程,有\[(x-m)^2+\left(\dfrac 1x-n\right)^2=r^2,\]即\[x^4-2mx^3+(m^2+n^2-r^2)x^2-2nx+1=0,\]根据韦达定理,有\[x_1+x_2+x_3+x_4=2m,\]又 $x_1+x_2=2m$,于是 $x_3+x_4=0$,进而可得 $y_1+y_2=0$,因此线段 $A_3A_4$ 的中点是双曲线的中心.

2、双曲线 $xy=1$ 在 $A_3$ 处的切线方程为\[y_3x+x_3y=2,\]其斜率 $k_3=-\dfrac{1}{x_3^3}$ 结合第 $(1)$ 小题的结果,有 $k_3=\dfrac{1}{x_3x_4}$,而直线 $A_1A_2$ 的斜率\[k_{12}=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{\dfrac 1{x_1}-\dfrac 1{x_2}}{x_1-x_2}=-\dfrac 1{x_1x_2},\]根据韦达定理,有\[x_1x_2x_3x_4=1\implies k_{12}k_3=-1,\]于是双曲线在点 $A_3$ 处的切线与直线 $A_1A_2$ 垂直.同理,双曲线在点 $A_4$ 处的切线也与直线 $A_1A_2$ 垂直,因此所求夹角大小均为 $\dfrac{\pi}2$.

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