每日一题[1606]反客为主

求实数 $a$ 的取值范围,使不等式$$\sin 2\theta-2\sqrt 2 \cos \left(\theta -\dfrac {\pi}{4}\right)-\dfrac {\sqrt 2 a}{\sin \left(\theta +\dfrac {\pi}{4}\right)}>-3-a^2$$对 $\theta \in \left[0,\dfrac {\pi}{2}\right]$ 恒成立.

答案    $(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$.

解析    根据题意,有\[\forall \theta\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right],2\sin\theta\cos\theta-2(\cos\theta+\sin\theta)-\dfrac{2a}{\sin\theta+\cos\theta}>-3-a^2,\]也即\[\forall x\in [1,\sqrt 2],x^2-2ax-\dfrac{2a}{x}+2+a^2>0,\]也即\[\forall x\in [1,\sqrt 2],(a-x)\left(a-\left(x+\dfrac 2x\right)\right)>0,\]考虑到其中关于 $a$ 的不等式的解集为 $\left(-\infty,x\right)\cup\left(x+\dfrac 2x,+\infty\right)$,而在 $x\in[1,\sqrt 2]$ 时,这些解集的公共部分为 $(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$,因此所求 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$.

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