每日一题[1608]消元

已知实数 $x_1,x_2,x_3$ 满足 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2+x_2x_3=2$,则 $|x_2|$ 的最大值是_______.

答案    $2$.

解析    由于\[\begin{cases} x_1^2+x_1x_2\geqslant -\dfrac{x_2^2}4,\\ x_3^2+x_2x_3\geqslant -\dfrac{x_2^2}4,\end{cases}\]于是\[2=(x_1^2+x_1x_2)+(x_3^2+x_2x_3)+x_2^2\geqslant \dfrac{x_2^2}2,\]从而 $|x_2|\leqslant 2$,当 $x_1=x_3=-\dfrac {x_2}2=-1$ 时取得等号,因此所求最大值为 $2$.

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