每日一题[1602]分式函数

设 $-\dfrac {\pi}{2}\leqslant x \leqslant \dfrac {\pi}{2}$,且方程 $\cos 2x -4a \cos x -a+2=0$ 有两个不同的解,求 $a$ 的取值范围.

答案    $\left(\dfrac 35,1\right]\cup \left\{\dfrac 12\right\}$.

解析    题中方程即\[a(4\cos x+1)=2\cos^2x+1\iff a=\dfrac{2\cos^2x+1}{4\cos x+1},\]设 $t=\cos x$,则根据题意,关于 $t$ 的方程 $a=\dfrac{2t^2+1}{4t+1}$ 在 $[0,1)$ 上有唯一实数解.设右侧函数为 $f(t)$,则\[f(t)=\dfrac{4t-1}8+\dfrac{\dfrac 98}{4t+1},\]结合其图象,可得所实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 35,1\right]\cup \left\{\dfrac 12\right\}$.

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