已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$，满足 $\left|\overrightarrow a\right|=1$，$\left|\overrightarrow b\right|=2$，$\left|\overrightarrow c\right|=3$，$0<\lambda <1$．若 $\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c=0$，则 $\left|\overrightarrow a-\lambda \overrightarrow b -(1-\lambda)\overrightarrow c\right|$ 所有取不到的值组成的集合为_______．
已知棱长为 $1$ 的正四面体 $P-ABC$，$PC$ 的中点为 $D$，动点 $E$ 在线段 $AD$ 上，则直线 $BE$ 与平面 $ABC$ 所成的角的取值范围为_______．
设函数 $f(x)=4x^3+bx+1$（$b\in \mathbb R$），对任意的 $x \in [-1,1]$，都有 $f(x)\geqslant 0$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围．
已知方程 $E:x_1 +2x_2+3x_3+\cdots+nx_n=2017$．
1、求使方程 $E$ 有正整数解的 $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n $ 的最大正整数 $ n$．
2、用 $A_n$ 表示方程 $E$ 的所有正整数解 $(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n)$ 构成的集合，当 $n$ 为奇数时，我们称 $A_n$ 中的每一个元素为方程 $E$ 的一个奇解；当 $n$ 为偶数时，我们称 $A_n$ 中的每一个元素为方程 $E$ 的一个偶解．证明：方程 $E$ 的所有奇解的个数与偶解的个数相等．
已知数列 $\{a_n\}$满足$a_{n+1}^2-a_{n+1}=a_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．若数列 $\{a_n\}$ 各项单调递增，则首项 $a_1$ 的取值范围是_______；当 $a_1=\dfrac 23$ 时，记 $b_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{a_n-1}$，若 $k<b_1+b_2+\cdots+b_{2019}<k+1$，则整数 $k=$ _______．
已知 $S$ 是正整数集合的无穷子集，满足对任意 $a,b,c \in S$，$abc \in S$，将 $S$ 中的元素按照由小到大的顺序排列成的数列记为 $\{a_n\}$，且已知 $a_1=2$，$a_{2031}=2^{4061}$，则 $a_{2017}=$ ______．
设数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 满足 $a_{n+1}=|b_n-c_n|$，$b_{n+1}=|c_n-a_n|$，$ c_{n+1}=|a_n-b_n|$，$n \in\mathbb N$．证明：对于任意正整数 $a_1,b_1,c_1$，存在正整数 $k$，使得 $a_{k+1}=a_k$，$b_{k+1}=b_k$，$c_{k+1}=c_k$．
解析 对任意正整数 $n$，用 $A_n,B_n,C_n$ 表示 $a_n,b_n,c_n$ 的升序排列．下面证明：
引理 存在正整数 $n$，使得 $A_n,B_n,C_n$ 中至少有两个相等，即 $A_n=B_n\leqslant C_n$，或者 $A_n\leqslant B_n=C_n$． 若不然，则对任意正整数 $n$，都有 $A_n<B_n<C_n$，于是\[A_{n+1}=\min\{B_n-A_n,C_n-B_n\}\ne 0,\]且 $C_{n+1}=C_n-A_n\leqslant C_n$．进而\[C_{n+2}=C_{n+1}-A_{n+1}\leqslant C_n-1,\]这样对任意正整数 $k$，均有\[C_{2k+1}\leqslant C_1-k,\]而当 $k>C_1$ 时，这显然不成立．因此引理得证． 根据引理不难得到接下来的 $(A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1})=(A_{n+2},B_{n+2},C_{n+2})$，因此命题得证．
设 $x,y \in [0,1]$，求 $f(x,y)=\sqrt {\dfrac {1+xy}{1+x^2}}+\sqrt {\dfrac {1-xy}{1+y^2}}$ 的取值范围．
设 $0<x<\dfrac {\pi}{2}$，证明：$0<\dfrac {x-\sin x}{\tan x -\sin x}<\dfrac 13$．
设 $n$ 是正整数，随机选取 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的非空子集 $A$ 和 $B$，则 $A \cap B$ 不是空集的概率是_______．
