Math173

$\tt 2005$ 年日本札幌医科大学高考第 $3$ 题：

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a>0$）． 已知 $C$ 在第一象限的部分上有一点 $P$，设 $P$ 处的切线 $l$ 与 $x,y$ 轴的交点分别为 $A,B$．

1、求线段 $AB$ 长度最小时的 $P$ 点坐标，和此时切线 $l$ 的方程．

2、设椭圆关于第 $(1)$ 小题中的直线 $l$ 对称后的图形为 $C'$，求 $C'$ 与 $x$ 轴有交点的 $a$ 的取值范围．

定义函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值与最小值的差为 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的极差，记作 $d(a,b)$． ① 若 $f(x)=x^2-2x+2$，则 $d(1,2)=$_______； ② 若 $f(x)=x+\dfrac{m}{x}$，且 $d(1,2)\ne \left|f(2)-f(1)\right|$，则实数 $m$ 的取值范围是_______．

在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=2$，$BC=1$，$AA_1=3$，$M,N$ 分别在线段 $AA_1$ 和 $AC$ 上，$MN=1$，则三棱锥 $C_1-MND$ 的体积的最小值为_______．

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$．已知 $c=2\sqrt 5$，且 $2a\sin C\cos B=a\sin A-b\sin B+\dfrac{\sqrt 5}2b\sin C$，点 $O$ 满足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，$\cos \angle CAO=\dfrac 38$，则 $\triangle ABC$ 的面积为( )

A．$\dfrac{\sqrt{55}}3$

B．$3\sqrt 5$

C．$5\sqrt 2$

D．$\sqrt{55}$

已知函数 $f(x)=x\ln x-\dfrac 12ax^2-x$（$a\in\mathbb R$）．
1、若曲线 $y=f(x)$ 在 $x={\rm e}$ 处切线的斜率为 $-1$，求此切线的方程．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，求 $a$ 的取值范围，并证明：$x_1x_2>x_1+x_2$．

在棱长为 $3$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$\triangle A_1DB$ 与 $\triangle A_1DC_1$ 的重心分别为 $E,F$，则正方体的外接球被 $E,F$ 所在的直线截得的弦长为( )

A．$5$

B．$\sqrt{26}$

C．$3\sqrt 3$

D．$2\sqrt 7$

已知函数 $f(x)=(ax+1){\rm e}^x$，$a\in\mathbb R$．

1、当 $a>0$ 时，证明：$f(x)+\dfrac a{\rm e}>0$．

2、当 $a=-\dfrac 12$ 时，如果 $x_1\ne x_2$，且 $f(x_1)=f(x_2)$，证明：$x_1+x_2<2$．

已知函数 $f(x)=|x-a|-\dfrac 3x+a$（$a\in\mathbb R$），若方程 $f(x)=2$ 有且只有三个不同的实数解，则 $a$ 的取值范围是( )

A．$\big(1+\sqrt 3,3\big)$

B．$\big(-1,1-\sqrt 3\big)\cup \big(1+\sqrt 3,+\infty\big)$

C．$\big(-\infty,1-\sqrt 3\big)$

D．$\big(-\infty,1-\sqrt 3\big)\cup \big(1+\sqrt 3,3\big)$