每日一题[1627]映射计数

已知方程 $E:x_1 +2x_2+3x_3+\cdots+nx_n=2017$.

1、求使方程 $E$ 有正整数解的 $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n $ 的最大正整数 $ n$.

2、用 $A_n$ 表示方程 $E$ 的所有正整数解 $(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n)$ 构成的集合,当 $n$ 为奇数时,我们称 $A_n$ 中的每一个元素为方程 $E$ 的一个奇解;当 $n$ 为偶数时,我们称 $A_n$ 中的每一个元素为方程 $E$ 的一个偶解.证明:方程 $E$ 的所有奇解的个数与偶解的个数相等.

解析

1、根据题意,有\[2017=x_1+2x_2+3x_3+\cdots+nx_n\geqslant 1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2},\]于是 $n\leqslant 653$,当 $n=63$ 时,$(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(2,\underbrace{1,\cdots,1}_{62})$ 是方程 $E$ 的一组解,因此 $n$ 的最大值为 $63$.

2、构造映射 $f:(x_1,x_2,\cdots,x_n)\mapsto (y_1,y_2,\cdots,y_n)$,其中\[y_k=\sum_{i=k}^nx_i,k=1,2,\cdots,n\]则 $x_k=y_k-y_{k+1}$($k=1,2,\cdots,n-1$),$x_n=y_n$,因此 $f$ 为一一映射.因此问题转化为方程\[E':y_1+y_2+y_3+\cdots+y_n=2017\]的所有奇解的个数与偶解的个数相等. 接下来构造从奇解到偶解的一一映射 $g:Y\mapsto Y'$,考虑数列 $Y:y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n$,设其从第 $1$ 项开始的连续序列 $Y_0$(相邻项相差为 $1$)的最大长度为 $l(Y)$,如\[l(9,8,7,6,3,2)=4,l(5,4,3,2,1)=5,\]等等. [[case]]情形一[[/case]] $l(Y)=n$ 且 $y_n\leqslant l(Y)$.此时 $y_n\leqslant n-1$,否则 $y_n=n$,有\[Y:n,n+1,n+2,\cdots,2n-1,\]所有项之和为 $\dfrac{n(3n-1)}{2}=2017$,没有整数解. [[case]]情形二[[/case]] $l(Y)=n$ 且 $y_n>l(Y)$.此时 $y_n\geqslant n+2$,否则 $y_n=n+1$,有\[Y:n+1,n+2,n+3,\cdots,2n,\]所有项之和为 $\dfrac{n(3n+1)}{2}=2017$,没有整数解. [[case]]情形三[[/case]] $y_n\leqslant l(Y)$.此时将 $Y$ 中的连续序列 $Y_0$ 的前 $y_n$ 项每项加 $1$,然后去掉 $y_n$ 项,得到 $Y'$,如\[(9,8,7,6,3,2)\mapsto (10,9,7,6,3).\] [[case]]情形四[[/case]] $y_n>l(Y)$.此时将 $Y$ 中的连续数列 $Y_0$ 的每一项第都减 $1$,然后在最后增加一项为 $l(Y)$,得到 $Y'$,如\[(10,9,7,6,3)\mapsto (9,8,7,6,3,2).\] 综上所述,映射 $g$ 是方程 $E'$ 的奇解与偶解的一一映射,因此命题得证.

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