每日一题[1629]线面角

已知棱长为 $1$ 的正四面体 $P-ABC$,$PC$ 的中点为 $D$,动点 $E$ 在线段 $AD$ 上,则直线 $BE$ 与平面 $ABC$ 所成的角的取值范围为_______.

答案    $\left[0,\arcsin\dfrac{\sqrt 2}3\right]$.

解析    如图,设 $\overrightarrow{PA}=\overrightarrow a$,$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow b$,$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow c$,且\[\overrightarrow{PE}=(1-\lambda)\overrightarrow a+\dfrac{\lambda}2\overrightarrow c\implies \overrightarrow{BE}=(1-\lambda)\overrightarrow a+\dfrac{\lambda}2\overrightarrow c-\overrightarrow b.\]

考虑到平面 $ABC$ 的法向量为 $\overrightarrow n=\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c$,则所求角的正弦值\[\sin\theta=\dfrac{\left|\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow n\right|}{\left|\overrightarrow{BE}\right|\cdot \left|\overrightarrow n\right|}=\sqrt{\dfrac 23}\cdot \dfrac{\lambda}{\sqrt{3\lambda^2-\lambda+4}}=\begin{cases} 0,&\lambda=0,\\ \sqrt{\dfrac 23}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{2}{\lambda}-1\right)^2+2}},&\lambda\in (0,1],\end{cases}\]于是所求角的取值范围是 $\left[0,\arcsin\dfrac{\sqrt 2}3\right]$.

备注    $E$从$A$运动到$D$时直线$BE$与平面$ABC$所成角的正弦值是单调递增的,但不好说明.如果允许$E$在直线$AD$上运动,那么所求线面角的最大值即平面$ABD$与平面$ABC$的二面角大小.

 

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