每日一题[1628]切割线

设函数 $f(x)=4x^3+bx+1$($b\in \mathbb R$),对任意的 $x \in [-1,1]$,都有 $f(x)\geqslant 0$ 成立,求实数 $b$ 的取值范围.

答案    $\{-3\}$.

解析    题意即 $\forall x\in [-1,1],bx+1\geqslant -4x^3$,注意到函数 $y=-4x^3$ 的过点 $(0,1)$ 的切线方程为 $y=-3x+1$ 恰好经过点 $(-1,4)$,因此所求实数 $b$ 的取值范围是 $\{-3\}$.

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