每日一题[1622]一带二

设 $0<x<\dfrac {\pi}{2}$,证明:$0<\dfrac {x-\sin x}{\tan x -\sin x}<\dfrac 13$.

解析    题意即证明\[\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),\sin x <x<\dfrac{\tan x+2\sin x}3,\]左侧为熟知的不等式,设 $f(x)=\tan x+2\sin x-3x$,则其导函数\[f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}+2\cos x-3>0,\]因此 $f(x)$ 单调递增,从而当 $ x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 时,有 $f(x)>f(0)>0$,命题得证.

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