每日一题[1630]向量的几何意义

已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$,满足 $\left|\overrightarrow a\right|=1$,$\left|\overrightarrow b\right|=2$,$\left|\overrightarrow c\right|=3$,$0<\lambda <1$.若 $\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c=0$,则 $\left|\overrightarrow a-\lambda \overrightarrow b -(1-\lambda)\overrightarrow c\right|$ 所有取不到的值组成的集合为_______.

答案    $\left(-\infty,\dfrac{6}{\sqrt{13}}\right]\cup[4,+\infty)$.

解析    题意即坐标平面 $xOy$ 中圆 $x^2+y^2=1$ 上的点到直线 $\dfrac x2+\dfrac y3=1$ 在第一象限部分的距离的取值范围 $D$ 的补集.

可得 $D=(OH-1,OB+1)$ 即 $D=\left(\dfrac{6}{\sqrt{13}}-1,4\right)$,因此所求集合为 $\left(-\infty,\dfrac{6}{\sqrt{13}}\right]\cup[4,+\infty)$.

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