若 $\sin x+\cos x=\dfrac 13$，且 $0<x<\pi$，则 $\sin 2x+\cos 2x=$ _______．
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每日一题[1689]降次
求值：$\cos^4\dfrac{\mathrm \pi}{8}+\cos^4\dfrac{3\mathrm \pi}{8}+\cos^4\dfrac{5\mathrm \pi}{8}+\cos^4\dfrac{7\mathrm \pi}{8}$．
每日一题[1688]数值估计
设 $a=\sin 15^\circ+\cos 15^\circ$，$b=\sin 16^\circ+\cos 16^\circ$，则下列各式正确的是（ ）
A．$a<\dfrac {a^2+b^2}2<b$
B．$a<b<\dfrac {a^2+b^2}2$
C．$b<a<\dfrac {a^2+b^2}2$
D．$b<\dfrac {a^2+b^2}2<a$
每日一题[1687]代数与几何
函数 $f(x)=\dfrac {\sin x}{\sqrt {5+4\cos x}}$（$0\leqslant x\leqslant 2\pi$）的值域是( )
A．$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$
B．$\left[-\dfrac 13,\dfrac 13\right]$
C．$\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]$
D．$\left[-\dfrac 23,\dfrac 23\right]$
每日一题[1686]拟合折线
已知 $f(x),g(x),h(x)$ 均为一次函数，若对实数 $x$ 满足\[|f(x)|-|g(x)|+h(x)=\begin{cases} -1,&x<-1,\\ 3x+2,&-1\leqslant x<0,\\ -2x+2,&x\geqslant 0,\end{cases}\]则 $h(x)$ 的解析式为_______．
每日一题[1685]递推概率
甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢；前一场的输者，则下一场先掷．若第一场甲先掷，则甲赢得第 $n$ 场的概率为_______．
每日一题[1683]抓主要矛盾
设 $S(x)$ 表示自然数 $x$ 的数字和，则方程 $x+S(x)+S(S(x))=2013$ 的解集是_______．
每日一题[1682]三角循环
给定数列 $\{x_n\}$，$x_1=1$，且 $x_{n+1}=\dfrac{\sqrt3x_n+1}{\sqrt3-x_n}$，则 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2008}{x_n}=$（ ）
A．$0$
B．$-1$
C．$2+\sqrt3$
D．$-2+\sqrt3$