每日一题[1687]代数与几何

函数 $f(x)=\dfrac {\sin x}{\sqrt {5+4\cos x}}$($0\leqslant x\leqslant 2\pi$)的值域是(        )

A.$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$

B.$\left[-\dfrac 13,\dfrac 13\right]$

C.$\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]$

D.$\left[-\dfrac 23,\dfrac 23\right]$

答案    C.

解析    根据题意,有\[f\left(x\right) =\dfrac{\sin x}{\sqrt{\sin^2x+\cos ^2x+4\cos x+4}}=\dfrac{\sin x}{\sqrt{\sin ^2x+\left( \cos x+2 \right) ^2} },\] 所以 $\left|f(x)\right|$ 表示 $\odot O:x^2+y^2=1$ 上的点与 $A\left(-2,0 \right) $ 连线夹角 $\theta$ 的正弦值,如图所示.

当 $AD$ 与圆相切时,正弦值最大,为 $\dfrac{1}{2}$.

另法    记题中代数式为 $y$,则\[t^2+4y^2t+5y^2-1=0,\]其中 $t=\cos x$ 其判别式\[\Delta=4(4y^2-1)(y^2-1)\geqslant 0\iff y^2\geqslant 1\lor y^2\leqslant \dfrac 14.\]

情形一    若 $y^2\geqslant 1$,则对称轴 $t=-2y^2$ 在区间 $[-1,1]$ 外,结合 $t=-1$ 和 $t=1$ 时对应二次函数的函数值均不小于 $0$,矛盾.

情形二    若 $y^2\leqslant \dfrac 14$,则 $t=-1$ 时和 $t=1$ 时对应的二次函数函数值异号(或为 $0$)符合题意. 综上所述,所求函数的值域为 $\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]$.

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