每日一题[1690]估计范围

若 $\sin x+\cos x=\dfrac 13$,且 $0<x<\pi$,则 $\sin 2x+\cos 2x=$ _______.

答案    $-\dfrac {8+\sqrt {17}}9$.

解析    根据题意,有\[\sin 2x=(\sin x+\cos x)^2-1=-\dfrac 89.\]

利用三角函数线可知 $\dfrac{\pi}2<x<\dfrac{3\pi}4$,于是 $2x\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}2\right)$,从而\[\sin 2x+\cos 2x=-\dfrac 89+\left(-\dfrac{\sqrt{17}}9\right)=-\dfrac{8+\sqrt{17}}9.\]

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