每日一题[1685]递推概率

甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下,规定谁先掷出正面朝上为赢;前一场的输者,则下一场先掷.若第一场甲先掷,则甲赢得第 $n$ 场的概率为_______.

答案    $\dfrac1 2+\dfrac 1 6\left(-\dfrac1 3\right)^{n-1}$.

解析    在每一场,设先掷的人获胜的概率为 $p$,则\[p=\dfrac 12+\dfrac 12 \cdot \dfrac 12\cdot p\implies p=\dfrac 23.\]设甲赢得第 $n$ 场的概率为 $p_n$,则乙赢得第 $n$ 场的概率为 $1-p_n$,于是\[p_{n+1}=p_n\cdot (1-p)+(1-p_n)\cdot p=-\dfrac 13p_n+\dfrac 23,\]根据不动点法可得\[p_n=\dfrac 16\cdot\left(-\dfrac 13\right)^{n-1}+\dfrac 12,n\in\mathbb N^{\ast}.\]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论