每日一题[1683]抓主要矛盾

设 $S(x)$ 表示自然数 $x$ 的数字和,则方程 $x+S(x)+S(S(x))=2013$ 的解集是_______.

答案    $\{1979,1985,1991,2003\}$.

解析    易知 $x$ 为四位数,且 $1900<x<2100$.

情形一    $x=\overline{19ab}$,此时方程即\[(1900+10a+b)+(1+9+a+b)+S(10+a+b)=2013,\]即\[11a+2b+S(a+b)=102,\]由于 $2b+S(a+b)\leqslant 18+18=36$,于是 $a\geqslant 6$,逐一尝试可得 $x=1979,1985,1991$ 符合题意.

情形二    $x=\overline{20ab}$,此时方程即\[(2000+10a+b)+(2+0+a+b)+S(2+a+b)=2013,\]即\[11a+2b+S(2+a+b)=11,\]于是 $a=0$,进而可得 $b=3$,可得 $x=2003$ 符合题意. 综上所述,所求方程的解集为 $\{1979,1985,1991,2003\}$.

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