每日一题[1689]降次

求值:$\cos^4\dfrac{\mathrm \pi}{8}+\cos^4\dfrac{3\mathrm \pi}{8}+\cos^4\dfrac{5\mathrm \pi}{8}+\cos^4\dfrac{7\mathrm \pi}{8}$.

答案    $\dfrac 32$.

解析    设原式的值为 $m$,由于\[\cos^4\theta=\left(\dfrac{{\rm e}^{{\rm i}\theta}+{\rm e}^{-{\rm i}\theta}}2\right)^4=\dfrac{\cos4\theta+4\cos2\theta+6}{16},\]可得 $m=\dfrac 32$.

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