每日一题[1682]三角循环

给定数列 $\{x_n\}$,$x_1=1$,且 $x_{n+1}=\dfrac{\sqrt3x_n+1}{\sqrt3-x_n}$,则 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2008}{x_n}=$(       )

A.$0$

B.$-1$

C.$2+\sqrt3$

D.$-2+\sqrt3$

A

解析    根据题中等式特点,利用三角变形,令 $x_n=\tan a_n$,则$$x_{n+1}=\tan\left(a_n+\dfrac{\pi}{6}\right)\implies x_{n+6}=x_n,$$故数列 $\{x_n\}$ 是周期为 $6$ 的周期数列,且\[\begin{array}{c|cccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6\\ \hline x_n&1&2+\sqrt 3&-2-\sqrt 3&-1&-2+\sqrt 3&2-\sqrt 3\\ \hline \end{array}\]因此$$x_1+x_2+\cdots+x_6=0,$$进而$$\sum\limits_{n=1}^{2008}{x_n}=x_1+x_2+x_3+x_4=0.$$

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