每日一题[1684]柯西反向

函数 $ y=-\sqrt{3} x+\sqrt{4 x^{2}+25} $ 的最小值为_______.

答案    $ \dfrac{5}{2} $.

解析    根据柯西反向不等式,有\[-\sqrt{3} x+\sqrt{4 x^{2}+25}=2\sqrt{x^2+\dfrac{25}4}-\sqrt 3x\geqslant \sqrt{4-3}\cdot \sqrt{\dfrac{25}4}=\dfrac 52,\]等号当\[\dfrac{2}{\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt{x^2+\dfrac{25}4}}{x}\iff x=\dfrac{5\sqrt 3}4\]时取得,因此所求最小值为 $\dfrac 52$.

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