已知点 $M(3,2)$ 到抛物线 $C:y=ax^2$（$a>0$）准线的距离为 $4$，$F$ 为抛物线的焦点，点 $N(1,1)$，点 $P$ 在直线 $l:x-y-2=0$ 上运动时，$\dfrac{|PN|-1}{|PF|}$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac{3-2\sqrt 2}8$
B．$\dfrac{2-\sqrt 2}4$
C．$\dfrac{5-2\sqrt 2}8$
D．$\dfrac{5-2\sqrt 2}4$
已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{1009}^3+\dfrac{1}{2^{a_{1009}}+1}=-4$，$a_{1010}^3+\dfrac{1}{2^{a_{1010}}+1}=5$，则其前 $2018$ 项和 $S_{2018}=$ _______．
已知数列 $\{a_n\}$ 的通项为 $a_n=\dfrac{2^n}{3^{2^n}+1}$，用 $S_n$ 表示其前 $n$ 项和，$P_n$ 表示其前 $n$ 项之积，则 $\dfrac{S_n}{P_n}=$_______．
答案 $\dfrac{3^{2^{n+1}}-2^{n+3}-1}{2^{\frac 12n(n+1)+5}}$
解析 注意到\[\dfrac{2^n}{1+3^{2^n}}=\dfrac{2^{n+1}}{1-3^{2^{n+1}}}-\dfrac{2^n}{1-3^{2^n}},\]于是\[S_n=\dfrac{2^{n+1}}{1-3^{2^{n+1}}}-\dfrac{2}{1-3^2}=\dfrac{2^{n+1}}{1-3^{2^{n+1}}}+\dfrac 14,\]又\[\dfrac{2^n}{1+3^{2^n}}=2^n\cdot \dfrac{1-3^{2^{n}}}{1-3^{2^{n+1}}},\]于是\[P_n=2^{1+2+\cdots+n}\cdot \dfrac{1-3^2}{1-3^{2^{n+1}}}=\dfrac{2^{\frac 12n(n+1)+3}}{3^{2^{n+1}}-1}.\]从而\[\dfrac{S_n}{P_n}=\dfrac{3^{2^{n+1}}-2^{n+3}-1}{2^{\frac 12n(n+1)+5}}.\]
设非负实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{12}$ 满足 $\displaystyle\sum_{i=1}^{12}x_i=1$，则 $\displaystyle\sum_{i=1}^9x_ix_{i+1}x_{i+2}x_{i+3}$ 的最大值为_______．
函数 $f(x)=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\cdots+\dfrac{x+2018}{x+2019}$ 的图像的对称中心为_______．
设椭圆 $\dfrac{x^2}{t+1}+\dfrac{y^2}{t-1}=1$ 与双曲线 $xy=1$ 相切，则 $t$ 的值为_______．
已知函数 $f(x)=a\sin x+b\cos x$（$a,b\in\mathbb Z$）且满足 $\{x\mid f(x)=0\}=\{x\mid f(f(x))=0\}$，则符合题意的整数对 $(a,b)$ 个数为_______．
设虚数 $z$ 的模不为 $1$，复数 $w=z+\dfrac 1z$，则实数 $a=w+\dfrac 1w$ 的取值范围是_______．
在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，若 $c-a$ 等于 $AC$ 边上的高 $h$，则 $\sin\dfrac{C-A}2+\cos\dfrac{C+A}2$ 的值是_______．
