每日一题[1316]横竖均可

已知数列 $\{a_n\}$ 的通项为 $a_n=\dfrac{2^n}{3^{2^n}+1}$,用 $S_n$ 表示其前 $n$ 项和,$P_n$ 表示其前 $n$ 项之积,则 $\dfrac{S_n}{P_n}=$_______.

答案    $\dfrac{3^{2^{n+1}}-2^{n+3}-1}{2^{\frac 12n(n+1)+5}}$

解析    注意到\[\dfrac{2^n}{1+3^{2^n}}=\dfrac{2^{n+1}}{1-3^{2^{n+1}}}-\dfrac{2^n}{1-3^{2^n}},\]于是\[S_n=\dfrac{2^{n+1}}{1-3^{2^{n+1}}}-\dfrac{2}{1-3^2}=\dfrac{2^{n+1}}{1-3^{2^{n+1}}}+\dfrac 14,\]又\[\dfrac{2^n}{1+3^{2^n}}=2^n\cdot \dfrac{1-3^{2^{n}}}{1-3^{2^{n+1}}},\]于是\[P_n=2^{1+2+\cdots+n}\cdot \dfrac{1-3^2}{1-3^{2^{n+1}}}=\dfrac{2^{\frac 12n(n+1)+3}}{3^{2^{n+1}}-1}.\]从而\[\dfrac{S_n}{P_n}=\dfrac{3^{2^{n+1}}-2^{n+3}-1}{2^{\frac 12n(n+1)+5}}.\]

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