每日一题[1314]宏观

函数 $f(x)=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\cdots+\dfrac{x+2018}{x+2019}$ 的图像的对称中心为_______.

答案    $(-1010,2019)$.

解析    考虑定义域为\[\{x\mid x\in\mathbb R,x\ne -1,-2,\cdots,-2019\},\]关于 $x=-1010$ 对称,于是对称中心(如果存在)的横坐标必然为 $-1010$. 考虑到\[\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)=2019,\]于是对称中心(如果存在)的纵坐标必然为 $2019$. 容易验证 $(-1010,2019)$ 为题中函数的对称中心,因此 $(-1010,2019)$ 为所求.

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