每日一题[1319]换位思考

已知点 $M(3,2)$ 到抛物线 $C:y=ax^2$($a>0$)准线的距离为 $4$,$F$ 为抛物线的焦点,点 $N(1,1)$,点 $P$ 在直线 $l:x-y-2=0$ 上运动时,$\dfrac{|PN|-1}{|PF|}$ 的最小值为(       )

A.$\dfrac{3-2\sqrt 2}8$

B.$\dfrac{2-\sqrt 2}4$

C.$\dfrac{5-2\sqrt 2}8$

D.$\dfrac{5-2\sqrt 2}4$

答案    B.

解析   根据题意,有 $F(0,2)$,设$F$在直线$l$上的投影为$H$,于是\[|FN|=|NH|=\sqrt 2,\]进而\[\dfrac{|PN|-1}{|PF|}\geqslant\dfrac{|PF|-|FN|-1}{|PF|}=1-\dfrac{1+\sqrt 2}{|PF|}\geqslant 1-\dfrac{1+\sqrt 2}{2\sqrt 2}=\dfrac{2-\sqrt 2}4,\]等号当 $F,N,P$ 三点共线时取得.因此所求最小值为 $\dfrac{2-\sqrt 2}4$.

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