每日一题[1317]估计立方根

求证:$\dfrac 74<\sqrt[3]4-\sqrt[3]6+\sqrt[3]9<2$.

解法一    根据立方和公式,有\[\sqrt[3]4-\sqrt[3]6+\sqrt[3]9=\dfrac{2+3}{\sqrt[3]2+\sqrt[3]3},\]于是只需证明\[\dfrac 52<\sqrt[3]2+\sqrt[3]3<\dfrac{20}7,\]考虑到\[\begin{array}{c|ccccc}\hline x&1.1&1.2&1.3&1.4&1.5\\ \hline x^3&1.331&1.728&2.197&2.744&3.375\\ \hline\end{array}\]于是\[\dfrac 52<2.6=1.2+1.4<\sqrt[3]2+\sqrt[3]3<1.3+1.5=2.8<\dfrac {20}7.\]

解法二    考虑到\[\begin{array} {c|cccccccccc}\hline x&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline x^3&1&8&27&64&125&216&343&512&729&1000\\ \hline \end{array}\]容易证明当 $d>0$ 且 $m>n>0$ 时,有\[\sqrt[3]{m+d}-\sqrt[3]{m}<\sqrt[3]{n+d}-\sqrt[3]{n},\]于是\[\sqrt[3]4-\sqrt[3]6+\sqrt[3]9>\sqrt[3]4+\sqrt[3]{11}-\sqrt[3]8>\dfrac 32+\dfrac{9}{4}-2=\dfrac 74,\]且\[\sqrt[3]4-\sqrt[3]6+\sqrt[3]9<\sqrt[3]4+\sqrt[3]7-\sqrt[3]4=\sqrt[3]7<2.\]

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